
\prob{0034}{中线延长}

\begin{figure}[htbp]
  \centering \image{0034}
  \caption{总第~\ref{sec:0034} 题图} \label{fig:0034}
\end{figure}

如图~\ref{fig:0034}，在$\triangle ABC$中，$D$在线段$AC$上且$AD:CD = 1:2$，$E$是线段$BD$的中点，$F$是$BC$与$AE$的延长线的交点。若$\triangle ABC$的面积为$12$，求$\triangle BEF$的面积。
\problabels{yellow/平面几何, green/面积问题}

\ans{$\triangle BEF$的面积为1。}

\subsection{列方程} \label{subsec:0034-eq}

\begin{figure}[htbp]
  \centering \image{0034-eq}
  \caption{方法~\ref{subsec:0034-eq} 图} \label{fig:0034-eq}
\end{figure}

如图~\ref{fig:0034-eq}，连接$DF$。设
\[ S_{\triangle BEF} = S_{\triangle DEF} = S \]

显然
\[ S_{\triangle BCD} = 8, S_{\triangle ADE} = 2 \]
故
\begin{align*}
  S_{\triangle CDF} &= S_{\triangle BCD} - S_{\triangle BDF} = 8 - 2S \\
  S_{\triangle CDF} &= \frac23S_{\triangle ACF} = 2S_{\triangle ADF} = 2(2 + S)
\end{align*}
故
\[ 8 - 2S = 2(2 + S) \Rightarrow S = 1 \]
因此，$\triangle BEF$的面积为1。
